再就職手当について現在アルバイトをしているのですが、再就職手...

再就職手当について
現在アルバイトをしているのですが、再就職手当てについて教えてください。
4月いっぱいで退職をし、失業手当の手続きなどをしました。3ヶ月の給付制限期間中はどれだけ働いても構わないということでしたので、8月から本格的にアルバイトを始めたのですがまだ雇用保険（社会保険）には未加入の状態でした。
アルバイト先で加入させてもらえるということでしたが、3ヶ月くらい働いた実績がないと加入させてくれないということで、現在は待ちの状態です。
そして本日給付制限後初の認定日だったので今の状況を相談しに行ったところ8月から働いているのであれば再就職手当ての申請の期限が切れているため給付されないとの事でした。
給付制限中に働き始めたら申請してくれなんて一言も言われなかったため申請もしませんでしたし、まさか再就職手当てに申請期限があるとも知りませんでした。私の確認不足なのは重々承知なのですが…
このような場合の救済処置などはないのでしょうか？
ハローワーク側の説明不足に納得がいきません。

＞給付制限中に働き始めたら申請してくれなんて一言も言われなかったため申請もしませんでしたし、まさか再就職手当てに申請期限があるとも知りませんでした。

ここが問題ですね、一言も言われてなかったとは言え貴方は「雇用保険ご利用のしおり」と言うものを貰っていませんか？
その中に再就職手当に関する記述があります、再就職手当の申請書は就職日の翌日から1ヶ月以内と記述されています。

言われたか言われてないかは、今更言っても水掛け論、雇用保険の制度についての説明書（雇用保険ご利用のしおり）を読む読まないは貴方の自由、しかし読んでいなから知らないと言う理由は通りません。

雇用保険ご利用のしおりを見ていない貴方のミスです。

ハローワークの、職員（契約職員含む）は、自分の知人が雇用保険を貰っているかどうかを、知人の許可を
得ないで、調べる事ができるのでしょうか。宜しく、お願い致します。

今はうるさくなったようですが
できるかできないかという話でしたら「できます」
つい数年前に芸能人の支払い状況をチェックして処分された人がいるくらいですよ。
正式な手続きなしに表に出すようなことがあれば守秘義務違反ですから懲戒の対象です。